9. Решите неравенство \( \log_{x+1} (5-x) > 1 \).

Решение:

Решаем неравенство \( \log_{x+1} (5-x) > 1 \).

Учтем область допустимых значений (ОДЗ):

1. \( x+1 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > -1 \)
2. \( x+1 \neq 1 \) \(\Rightarrow\) \( x \neq 0 \)
3. \( 5-x > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x < 5 \)

Объединяя, получаем ОДЗ: \( x ∈ (-1; 0) ∪ (0; 5) \).

Рассмотрим два случая для основания логарифма \( x+1 \).

Случай 1: Основание больше 1.

\( x+1 > 1 \) \(\Rightarrow\) \( x > 0 \).

В этом случае неравенство \( \log_{x+1} (5-x) > 1 \) эквивалентно:

\( 5-x > (x+1)^1 \)

\( 5-x > x+1 \)

\( 5-1 > x+x \)

\( 4 > 2x \)

\( 2 > x \)

Учитывая условие \( x > 0 \) и ОДЗ, получаем решение для этого случая: \( 0 < x < 2 \).

Случай 2: Основание от 0 до 1.

\( 0 < x+1 < 1 \) \(\Rightarrow\) \( -1 < x < 0 \).

В этом случае знак неравенства меняется:

\( 5-x < (x+1)^1 \)

\( 5-x < x+1 \)

\( 5-1 < x+x \)

\( 4 < 2x \)

\( 2 < x \)

Решение \( x > 2 \) противоречит условию \( -1 < x < 0 \). Значит, в этом случае решений нет.

Объединяя решения обоих случаев, получаем:

\( 0 < x < 2 \).

Ответ: \( (0; 2) \).