10. Найдите сумму корней уравнения \( \sin (2x-\frac{\pi}{3}) \sin x - \cos (2x-\frac{\pi}{3}) \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \), принадлежащих промежутку \( [-\pi; 2\pi] \).

Решение:

Данное уравнение имеет вид \( -(\cos(2x-\frac{\pi}{3})\cos x + \sin(2x-\frac{\pi}{3})\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Используем формулу косинуса разности: \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \).

В нашем случае \( \alpha = 2x - \frac{\pi}{3} \) и \( \beta = x \).

Уравнение примет вид:

\( -\cos((2x-\frac{\pi}{3}) - x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( -\cos(x-\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos(x-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Известно, что \( \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Следовательно,

\( x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Вариант 1: со знаком плюс

\( x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi + 5\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \)

Найдем корни в промежутке \( [-\pi; 2\pi] \):

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{7\pi}{6} \).
• При \( k = 1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \) (больше \( 2\pi \)).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \).

Вариант 2: со знаком минус

\( x - \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi - 5\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

Найдем корни в промежутке \( [-\pi; 2\pi] \):

• При \( k = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{2} \).
• При \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{- \pi + 4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \).
• При \( k = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{5\pi}{2} \) (меньше \( -\pi \)).

Найденные корни в промежутке \( [-\pi; 2\pi] \): \( \frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \).

Сумма корней:

\( S = \frac{7\pi}{6} + (-\frac{5\pi}{6}) + (-\frac{\pi}{2}) + \frac{3\pi}{2} \)

\( S = \frac{7\pi - 5\pi}{6} + \frac{- \pi + 3\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi + 3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \).

Ответ: \( \frac{4\pi}{3} \).