7. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при ребре основания равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Обозначим:

• \( l = 6 \) см — апофема пирамиды.
• \( \alpha = 45^{\circ} \) — двугранный угол при ребре основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды \( H \) и радиусом вписанной окружности в основание ( \( r \) ). В этом треугольнике \( \alpha \) — угол между апофемой и радиусом вписанной окружности.

\( \cos \alpha = \frac{r}{l} \) \(\Rightarrow\) \( r = l \cos \alpha = 6 \cos 45^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) см.

\( \tan \alpha = \frac{H}{r} \) \(\Rightarrow\) \( H = r \tan \alpha = 3\sqrt{2} \tan 45^{\circ} = 3\sqrt{2} \cdot 1 = 3\sqrt{2} \) см.

Основание пирамиды — квадрат. Сторона квадрата \( a = 2r = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.

Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \) см².

Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 3\sqrt{2} = 72\sqrt{2} \) см³.

Ответ: \( 72\sqrt{2} \) см³.