8. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции \( f(x)=\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4} \) и прямой \( y = 1 \).

Решение:

Чтобы найти абсциссы точек пересечения, приравняем функцию к значению \( y \):

\( \sqrt{3x+1} - \sqrt{x+4} = 1 \)

Перенесем один корень в правую часть:

\( \sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{x+4} \)

Возведем обе части в квадрат:

\( (\sqrt{3x+1})^2 = (1 + \sqrt{x+4})^2 \)

\( 3x+1 = 1 + 2\sqrt{x+4} + (x+4) \)

\( 3x+1 = x+5 + 2\sqrt{x+4} \)

Соберем члены с \( x \) в левой части, а корень — в правой:

\( 3x - x + 1 - 5 = 2\sqrt{x+4} \)

\( 2x - 4 = 2\sqrt{x+4} \)

Разделим обе части на 2:

\( x - 2 = \sqrt{x+4} \)

Возведем обе части в квадрат еще раз:

\( (x - 2)^2 = (\sqrt{x+4})^2 \)

\( x^2 - 4x + 4 = x+4 \)

\( x^2 - 4x - x + 4 - 4 = 0 \)

\( x^2 - 5x = 0 \)

Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(x - 5) = 0 \)

Получаем два возможных корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 5 \).

Проверим оба корня, подставив их в исходное уравнение \( \sqrt{3x+1} - \sqrt{x+4} = 1 \) или в \( x - 2 = \sqrt{x+4} \).

Проверка \( x = 0 \):

\( 0 - 2 = \sqrt{0+4} \) \(\Rightarrow\) \( -2 = \sqrt{4} \) \(\Rightarrow\) \( -2 = 2 \) — неверно. Значит, \( x = 0 \) — посторонний корень.

Проверка \( x = 5 \):

\( 5 - 2 = \sqrt{5+4} \) \(\Rightarrow\) \( 3 = \sqrt{9} \) \(\Rightarrow\) \( 3 = 3 \) — верно.

Ответ: 5.