9. (2 балла) Решите уравнение (x+3)² = x-(x-2)(x+2)

Решение:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Левая часть уравнения (квадрат суммы):

\[ (x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \]

Правая часть уравнения (разность квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)):

\[ x - (x-2)(x+2) = x - (x^2 - 2^2) = x - (x^2 - 4) = x - x^2 + 4 \]

Теперь приравняем левую и правую части:

\[ x^2 + 6x + 9 = x - x^2 + 4 \]

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + x^2 + 6x - x + 9 - 4 = 0 \]\[ 2x^2 + 5x + 5 = 0 \]

Найдем дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) по формуле \( D = b^2 - 4ac \).

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 \]\[ D = 25 - 40 \]\[ D = -15 \]

Так как дискриминант \( D = -15 \) отрицательный (меньше нуля), то данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.