8. Решите неравенство 3 • 25ˣ - 14 • 5ˣ < 5.

Решение:

Перепишем неравенство, используя свойства степеней: \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \).

\( 3 • (5^x)^2 - 14 • 5^x - 5 < 0 \).

Сделаем замену переменной: пусть \( t = 5^x \). Так как \( 5^x > 0 \) для любого \( x \), то \( t > 0 \).

\( 3t^2 - 14t - 5 < 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( 3t^2 - 14t - 5 = 0 \):

\( D = (-14)^2 - 4 • 3 • (-5) = 196 + 60 = 256 \).

\( \sqrt{D} = 16 \).

\( t_1 = \frac{14 - 16}{2 • 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \).

\( t_2 = \frac{14 + 16}{2 • 3} = \frac{30}{6} = 5 \).

Квадратный трёхчлен \( 3t^2 - 14t - 5 \) имеет параболу ветвями вверх. Неравенство \( 3t^2 - 14t - 5 < 0 \) выполняется при \( -\frac{1}{3} < t < 5 \).

Учитывая, что \( t > 0 \), получаем \( 0 < t < 5 \).

Вернёмся к замене \( t = 5^x \):

\( 0 < 5^x < 5 \).

\( 5^x < 5^1 \).

Так как основание степени \( 5 > 1 \), функция \( y = 5^x \) возрастающая. Следовательно:

\( x < 1 \).

Ответ: \( x < 1 \).