7. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды PABCD плоскостью DBK и найдите его площадь, если известно, что каждое ребро пирамиды равно 6 см и точка К является серединой ребра РС.

Решение:

Построение сечения:

Сечение — это треугольник DBK.

1. Основание пирамиды — квадрат ABCD. Диагонали квадрата пересекаются в точке O. \( AC = BD = 6\sqrt{2} \) см.

2. \( PO \) — высота пирамиды. \( PO = \sqrt{PC^2 - OC^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см.

3. \( K \) — середина \( PC \), значит, \( PK = KC = 3 \) см.

4. В треугольнике \( POC \), \( OK \) — средняя линия, параллельная \( PO \) и \( KC \). \( OK = \frac{1}{2} PO = \frac{3\sqrt{2}}{2} \) см.

5. Площадь сечения — площадь треугольника DBK. Основание — \( DB = 6\sqrt{2} \) см. Высота — \( OK = \frac{3\sqrt{2}}{2} \) см.

6. Площадь \( S_{DBK} = \frac{1}{2} × DB × OK = \frac{1}{2} × 6\sqrt{2} × \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} × 6 × \frac{3}{2} × 2 = 9 \) см².

Ответ: 9 см².