6. Решите систему уравнений { lg x + 2lgy = 3, 2lgx - lgy = 6. }

Решение:

Обозначим \( a = \text{lg } x \) и \( b = \text{lg } y \). Система уравнений примет вид:

\( \begin{cases} a + 2b = 3 \\ 2a - b = 6
\end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 2:

\( \begin{cases} a + 2b = 3 \\ 4a - 2b = 12
\end{cases} \)

Сложим первое и второе уравнения:

\( (a + 2b) + (4a - 2b) = 3 + 12 \)

\( 5a = 15 \)

\( a = 3 \)

Подставим \( a = 3 \) в первое уравнение:

\( 3 + 2b = 3 \)

\( 2b = 0 \)

\( b = 0 \)

Теперь вернёмся к исходным переменным:

\( \text{lg } x = a = 3 \) \(\implies\) \( x = 10^3 = 1000 \).

\( \text{lg } y = b = 0 \) \(\implies\) \( y = 10^0 = 1 \).

Проверим решение:

\( \text{lg } 1000 + 2 \text{lg } 1 = 3 + 2 \times 0 = 3 \) (верно).

\( 2 \text{lg } 1000 - \text{lg } 1 = 2 \times 3 - 0 = 6 \) (верно).

Ответ: x = 1000, y = 1.