5. Упростите выражение \( \frac{1 - \sin^2 (\pi + \alpha)}{\sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) - \cos (\pi - \alpha)} \).

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими формулами приведения и основными тождествами:

• \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) \(\implies\) \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \).
• \( \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \).
• \( \cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha \).

Подставим эти преобразования в исходное выражение:

\( \frac{1 - \sin^2 (\pi + \alpha)}{\sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) - \cos (\pi - \alpha)} = \frac{\cos^2 (\pi + \alpha)}{\cos \alpha - (-\cos \alpha)} \).

Учтём, что \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \), следовательно, \( \cos^2 (\pi + \alpha) = (-\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha \).

Знаменатель:

\( \cos \alpha - (-\cos \alpha) = \cos \alpha + \cos \alpha = 2\cos \alpha \).

Таким образом, выражение принимает вид:

\( \frac{\cos^2 \alpha}{2\cos \alpha} \).

Сократим на \( \cos \alpha \) (при условии, что \( \cos \alpha \neq 0 \)):

\( \frac{\cos \alpha}{2} \).

Ответ: \( \frac{\cos \alpha}{2} \).