10. Два цилиндра, высоты которых относятся как 4:9, имеют равные объемы. Найдите отношение площадей боковых поверхностей данных цилиндров.

Решение:

Пусть \( h_1 \) и \( h_2 \) — высоты цилиндров, \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы их оснований.

По условию, \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{4}{9} \).

Объемы цилиндров равны: \( V_1 = V_2 \).

\( π r_1^2 h_1 = π r_2^2 h_2 \).

\( r_1^2 h_1 = r_2^2 h_2 \).

\( \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{9}{4} \).

\( \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S = 2π r h \).

Найдем отношение площадей боковых поверхностей:

\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{2π r_1 h_1}{2π r_2 h_2} = \frac{r_1}{r_2} • \frac{h_1}{h_2} \).

Подставим известные отношения:

\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{2} • \frac{4}{9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \).

Ответ: 2:3.