8) \(\frac{1}{x^2-6x+9} + \frac{1}{(x+3)^2}\)

Решение

Разложим знаменатель первой дроби:

\(x^2-6x+9 = (x-3)^2\)

Выражение принимает вид:

\( \frac{1}{(x-3)^2} + \frac{1}{(x+3)^2} \)

Общий знаменатель: \((x-3)^2(x+3)^2\).

Приведем дроби к общему знаменателю:

\( \frac{(x+3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} + \frac{(x-3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} \)

Раскроем скобки в числителях:

\( \frac{x^2+6x+9 + x^2-6x+9}{(x-3)^2(x+3)^2} = \frac{2x^2+18}{(x-3)^2(x+3)^2} \)

Можно вынести 2 за скобки в числителе: \( \frac{2(x^2+9)}{(x-3)^2(x+3)^2} \)

Ответ: \( \frac{2(x^2+9)}{(x-3)^2(x+3)^2} \)