8. (1 балл) Решить уравнение X / (x+1) + 2x / (x-1) = 4 / (x^2-1)

Решение:

1. Приведем все дроби к общему знаменателю \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \). Уравнение определено при \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).
2. Умножим обе части уравнения на \( (x+1)(x-1) \): \( x(x-1) + 2x(x+1) = 4 \)
3. Раскроем скобки: \( x^2 - x + 2x^2 + 2x = 4 \)
4. Приведем подобные члены: \( 3x^2 + x = 4 \)
5. Перенесем 4 в левую часть: \( 3x^2 + x - 4 = 0 \)
6. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-4) = 1 + 48 = 49 \).
7. Корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 7}{6} \).
8. \( x_1 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
9. \( x_2 = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \)
10. Проверим, не равны ли корни \( 1 \) или \( -1 \). Корень \( x_1 = 1 \) является посторонним, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: \( -\frac{4}{3} \)