14. (3 балла) Решите уравнение 2 cos(x/3) = √3

Решение:

1. Разделим обе части уравнения на 2: \( \cos\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
2. Известно, что \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) при \( \alpha = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
3. Приравняем аргумент косинуса к этим значениям: \( \frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
4. Умножим обе части на 3, чтобы найти \( x \): \( x = 3 \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \right) \)
5. \( x = \pm \frac{3\pi}{6} + 6\pi k \)
6. \( x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k \)

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} \)