10. (1 балл) В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Обозначим:

• \( H \) — высота пирамиды, \( H = 6 \) см.
• \( l \) — апофема пирамиды.
• \( \alpha \) — угол между апофемой и плоскостью основания, \( \alpha = 60^{\circ} \).
• \( a \) — сторона основания.
• \( S_{полн} \) — полная площадь поверхности пирамиды.
• \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.
• \( S_{осн} \) — площадь основания.

В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и радиусом вписанной окружности в основании (он же равен половине стороны основания).

В этом треугольнике:

• Высота \( H \) — противолежащий катет к углу \( \alpha \).
• Половина стороны основания \( \frac{a}{2} \) — прилежащий катет к углу \( \alpha \).
• Апофема \( l \) — гипотенуза.

Используем тангенс угла \( \alpha \):

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{a/2} \)

\( \operatorname{tg} 60^{\circ} = \frac{6}{a/2} \)

\( \sqrt{3} = \frac{12}{a} \)

\( a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.

Площадь основания:

\( S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 \) см².

Найдем апофему \( l \) через синус угла \( \alpha \):

\( \sin \alpha = \frac{H}{l} \)

\( \sin 60^{\circ} = \frac{6}{l} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{l} \)

\( l = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \), где \( P \) — периметр основания.

\( P = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 32 \cdot 3 = 96 \) см².

Полная площадь поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 48 + 96 = 144 \) см².

Ответ: 144 см²