16. (3 балла) На машиностроительном заводе разработали новый тип деталей. Из 875 кг металла делают на 3 детали нового типа больше, чем деталей старого типа делали из 900 кг. Каковы массы деталей нового и старого типов, если 2 детали нового типа по массе меньше одной детали старого типа на 0.1 т?

Решение:

Пусть:

• \( m_н \) — масса одной детали нового типа (в кг).
• \( m_с \) — масса одной детали старого типа (в кг).
• \( N_н \) — количество деталей нового типа, сделанных из 875 кг.
• \( N_с \) — количество деталей старого типа, сделанных из 900 кг.

Из условий задачи имеем:

1. \( N_н = \frac{875}{m_н} \)
2. \( N_с = \frac{900}{m_с} \)
3. \( N_н = N_с + 3 \)
4. \( 2m_н = m_с - 0.1 \) (где 0.1 тонны = 100 кг).

Подставим выражения для \( N_н \) и \( N_с \) в третье уравнение:

\( \frac{875}{m_н} = \frac{900}{m_с} + 3 \)

Из четвертого уравнения выразим \( m_с \): \( m_с = 2m_н + 100 \).

Подставим это выражение для \( m_с \) в уравнение выше:

\( \frac{875}{m_н} = \frac{900}{2m_н + 100} + 3 \)

Приведем к общему знаменателю:

\( 875(2m_н + 100) = 900m_н + 3m_н(2m_н + 100) \)

Раскроем скобки:

\( 1750m_н + 87500 = 900m_н + 6m_н^2 + 300m_н \)

Перенесем все в одну сторону:

\( 6m_н^2 + (900 + 300 - 1750)m_н - 87500 = 0 \)

\( 6m_н^2 - 550m_н - 87500 = 0 \)

Разделим на 2, чтобы упростить:

\( 3m_н^2 - 275m_н - 43750 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-275)^2 - 4(3)(-43750) = 75625 + 12(43750) = 75625 + 525000 = 600625 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{600625} = 775 \)

Найдем \( m_н \):

\( m_н = \frac{275 \pm 775}{6} \)

Так как масса не может быть отрицательной, берем положительный корень:

\( m_н = \frac{275 + 775}{6} = \frac{1050}{6} = 175 \) кг.

Теперь найдем \( m_с \):

\( m_с = 2m_н + 100 = 2(175) + 100 = 350 + 100 = 450 \) кг.

Проверим условие: \( N_н = \frac{875}{175} = 5 \). \( N_с = \frac{900}{450} = 2 \). \( N_н = N_с + 3 \) (5 = 2 + 3 — верно).

\( 2m_н = 2 \cdot 175 = 350 \). \( m_с = 450 \). \( 2m_н = m_с - 100 \) (350 = 450 - 100 — верно).

Ответ: Масса детали нового типа — 175 кг, масса детали старого типа — 450 кг.