15. (3 балла) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Многогранник представляет собой комбинацию из двух прямоугольных параллелепипедов. Мы можем разбить его на две части или представить как один большой параллелепипед с вырезанным объемом.

Способ 1: Разделение на два параллелепипеда.

Разделим фигуру вертикальной плоскостью:

• Нижняя часть:
  Размеры: длина = 2, ширина = 2, высота = 1.
  Объём \( V_1 = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 \) куб. ед.
• Верхняя часть:
  Размеры: длина = 2, ширина = 1 (так как одна единица ширины "ушла" в нижнюю часть), высота = 1.
  Объём \( V_2 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \) куб. ед.
• Общий объём: \( V = V_1 + V_2 = 4 + 2 = 6 \) куб. ед.

Способ 2: Большой параллелепипед минус вырезанный объём.

Представим, что это большой параллелепипед с вырезанной сверху частью.

• Большой параллелепипед:
  Размеры: длина = 2, ширина = 2, высота = 2 (1+1).
  Объём \( V_{большой} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) куб. ед.
• Вырезанный объём (верхняя часть, которая не занята):
  Эта часть имеет размеры: длина = 2, ширина = 1, высота = 1.
  Объём \( V_{вырезанный} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \) куб. ед.
• Общий объём: \( V = V_{большой} - V_{вырезанный} = 8 - 2 = 6 \) куб. ед.

Чертеж (схематично):