7. Построить график функции \( y = x^2 - 2 \); Указать основные свойства функции.

Решение:

Функция \( y = x^2 - 2 \) является параболой, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (равен 1).

Основные свойства функции:

• Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \) (все действительные числа).
• Область значений: \( E(y) = [-2; +\infty) \) (значения \( y \) больше или равны -2).
• Монотонность:
• Функция убывает на интервале \( (-\infty; 0] \).
• Функция возрастает на интервале \( [0; +\infty) \).
• Чётность/Нечётность: Функция является чётной, так как \( y(-x) = (-x)^2 - 2 = x^2 - 2 = y(x) \). График симметричен относительно оси \( Oy \).
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): \( x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2} \).
• Точка пересечения с осью Oy: При \( x=0 \), \( y = 0^2 - 2 = -2 \). Точка (0; -2).
• Наименьшее значение: Наименьшее значение функции равно -2 и достигается в точке \( x=0 \).

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке \( (0; -2) \) и пересекающая ось \( Ox \) в точках \( (-\sqrt{2}; 0) \) и \( (\sqrt{2}; 0) \).

Ответ: График — парабола с вершиной в точке \( (0; -2) \), пересекающая ось \( Ox \) в точках \( \pm\sqrt{2} \). Основные свойства: область определения \( \mathbb{R} \), область значений \( [-2; +\infty) \), функция чётная, убывает на \( (-\infty; 0] \), возрастает на \( [0; +\infty) \).