15. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 12 и 29, длины боковых ребер равны 16 см. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Дано:
Прямоугольник (основание пирамиды) со сторонами \( a = 12 \) см, \( b = 29 \) см.
Боковые рёбра \( l = 16 \) см.
Найти:
Высоту пирамиды \( h \).
Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

1. Нахождение высоты пирамиды:

В прямоугольной пирамиде все боковые рёбра равны, если вершина проецируется в центр основания (точка пересечения диагоналей). Найдем длину диагонали основания \( d \) по теореме Пифагора:

\( d^2 = a^2 + b^2 = 12^2 + 29^2 = 144 + 841 = 985 \)

\( d = \sqrt{985} \) см.

Радиус описанной окружности вокруг основания (расстояние от центра до вершины прямоугольника) равен половине диагонали:

\( R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{985}}{2} \) см.

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения высоты \( h \), где \( l \) — гипотенуза, \( R \) и \( h \) — катеты:

\( l^2 = h^2 + R^2 \)

\( 16^2 = h^2 + (\frac{\sqrt{985}}{2})^2 \)

\( 256 = h^2 + \frac{985}{4} \)

\( h^2 = 256 - \frac{985}{4} = \frac{256 \cdot 4 - 985}{4} = \frac{1024 - 985}{4} = \frac{39}{4} \)

\( h = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2} \) см.

2. Нахождение площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Боковые грани — это треугольники. Нам нужно найти площадь каждого из четырех треугольников.

Найдем апофемы боковых граней. Для этого нужно найти высоты треугольников, проведенные из вершины пирамиды к сторонам основания. Обозначим апофемы как \( h_{a1} \) и \( h_{a2} \).

Используем теорему Пифагора для треугольников, образованных высотой пирамиды, радиусом, проведенным к середине стороны основания, и апофемой.

Расстояние от центра до стороны 12 равно \( \frac{29}{2} = 14.5 \).

\( h_{a1}^2 = h^2 + (\frac{29}{2})^2 = \frac{39}{4} + \frac{841}{4} = \frac{880}{4} = 220 \)

\( h_{a1} = \sqrt{220} = \sqrt{4 \cdot 55} = 2\sqrt{55} \) см.

Расстояние от центра до стороны 29 равно \( \frac{12}{2} = 6 \).

\( h_{a2}^2 = h^2 + (\frac{12}{2})^2 = \frac{39}{4} + 6^2 = \frac{39}{4} + 36 = \frac{39 + 144}{4} = \frac{183}{4} \)

\( h_{a2} = \sqrt{\frac{183}{4}} = \frac{\sqrt{183}}{2} \) см.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей двух пар одинаковых треугольников:

\( S_{бок} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a1}) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{a2}) \)

\( S_{бок} = a \cdot h_{a1} + b \cdot h_{a2} \)

\( S_{бок} = 12 \cdot 2\sqrt{55} + 29 \cdot \frac{\sqrt{183}}{2} \)

\( S_{бок} = 24\sqrt{55} + \frac{29\sqrt{183}}{2} \) см².

Ответ: Высота пирамиды равна \( \frac{\sqrt{39}}{2} \) см, площадь боковой поверхности равна \( 24\sqrt{55} + \frac{29\sqrt{183}}{2} \) см².