1. Вычислите \(\sqrt{65-7} \cdot \sqrt{65+7}\).

Решение:

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и свойство квадратных корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \).

\(\sqrt{65-7} \cdot \sqrt{65+7} = \sqrt{(65-7)(65+7)} = \sqrt{65^2 - 7^2}\)

\( 65^2 = 4225 \)

\( 7^2 = 49 \)

\(\sqrt{4225 - 49} = \sqrt{4176}\)

Для упрощения \( \sqrt{4176} \):

\( 4176 = 16 \cdot 261 = 16 \cdot 9 \cdot 29 = 144 \cdot 29 \)

\(\sqrt{144 \cdot 29} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{29} = 12\sqrt{29}\)

Ответ: \( 12\sqrt{29} \).