6. Решить тригонометрическое уравнение: \( 3\sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0 \).

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Сделаем замену: \( y = \sin x \).

\( 3y^2 - 5y - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \).

Корни:

\( y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)

Возвращаемся к замене:

1. \( \sin x = 2 \) — решений нет, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).

2. \( \sin x = -\frac{1}{3} \) — это решение существует.

Общее решение имеет вид:

\( x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Или, учитывая, что \( \arcsin(-a) = -\arcsin a \):

\( x = -(-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -(-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).