11. Материальная точка движется прямолинейно по закону \( S = 3t^4 - 7t^2 + 5 \). Найти величину скорости и ускорения в момент времени \( t_0 = 1c \).

Решение:

Скорость \( v \) — это первая производная от пути \( S \) по времени \( t \). Ускорение \( a \) — это первая производная от скорости \( v \) по времени \( t \), или вторая производная от пути \( S \) по времени \( t \).

1. Найдем скорость:

\( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(3t^4 - 7t^2 + 5) \)

\( v(t) = 3 \cdot 4t^3 - 7 \cdot 2t + 0 = 12t^3 - 14t \)

Найдем скорость в момент времени \( t_0 = 1c \):

\( v(1) = 12(1)^3 - 14(1) = 12 - 14 = -2 \) м/с.

2. Найдем ускорение:

\( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(12t^3 - 14t) \)

\( a(t) = 12 \cdot 3t^2 - 14 = 36t^2 - 14 \)

Найдем ускорение в момент времени \( t_0 = 1c \):

\( a(1) = 36(1)^2 - 14 = 36 - 14 = 22 \) м/с².

Ответ: Скорость равна -2 м/с, ускорение равно 22 м/с².