10. Найти производную функции: \( y = \sin^4 x + \cos 4x + 6 \).

Решение:

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

1. Производная \( y_1 = \sin^4 x \). Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = \sin x \), тогда \( y_1 = u^4 \).

\( y_1' = (u^4)' \cdot u' = 4u^3 \cdot (\sin x)' = 4(\sin x)^3 \cdot \cos x = 4\sin^3 x \cos x \).

2. Производная \( y_2 = \cos 4x \). Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( v = 4x \), тогда \( y_2 = \cos v \).

\( y_2' = (\cos v)' \cdot v' = -\sin v \cdot (4x)' = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x) \).

3. Производная константы \( y_3 = 6 \) равна 0.

Теперь сложим производные:

\( y' = y_1' + y_2' + y_3' = 4\sin^3 x \cos x - 4\sin(4x) + 0 \)

\( y' = 4\sin^3 x \cos x - 4\sin(4x) \).

Ответ: \( y' = 4\sin^3 x \cos x - 4\sin(4x) \).