№ 60 Объем конуса с радиусом основания 4 см равен 96л см³. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Дано: \( R = 4 \) см, \( V = 96\pi \) см³.

Найти: \( S_{бок} \).

Сначала найдем высоту конуса \( H \), используя формулу объема:

\( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \)

\( 96\pi = \frac{1}{3} \pi (4 \text{ см})^2 H \)

\( 96\pi = \frac{1}{3} \pi (16 \text{ см}^2) H \)

\( 96 = \frac{16}{3} H \)

\( H = \frac{96 \cdot 3}{16} = 6 \cdot 3 = 18 \) см.

Теперь найдем образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора:

\( l = \sqrt{R^2 + H^2} \)

\( l = \sqrt{(4 \text{ см})^2 + (18 \text{ см})^2} \)

\( l = \sqrt{16 + 324} = \sqrt{340} = \sqrt{4 \cdot 85} = 2\sqrt{85} \) см.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле:

\( S_{бок} = \pi R l \)

\( S_{бок} = \pi \cdot (4 \text{ см}) \cdot (2\sqrt{85} \text{ см}) \)

\( S_{бок} = 8\pi\sqrt{85} \text{ см}^2 \).

Ответ: S_{бок} = 8π√85 см².