6. Вычислите: \( \log_3 72 - \log_3 \frac{16}{27} + \log_3 18 \)

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \) и \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).

\( \log_3 72 - \log_3 \frac{16}{27} + \log_3 18 = \log_3 \frac{72}{\frac{16}{27}} + \log_3 18 \)

\( = \log_3 \left( 72 \cdot \frac{27}{16} \right) + \log_3 18 \)

\( = \log_3 \left( \frac{72 \cdot 27}{16} \right) + \log_3 18 \)

Сократим \( 72 \) и \( 16 \) на \( 8 \): \( \frac{9 · 27}{2} \).

\( = \log_3 \left( \frac{9 · 27}{2} \right) + \log_3 18 \)

\( = \log_3 \left( \frac{243}{2} \right) + \log_3 18 \)

\( = \log_3 \left( \frac{243}{2} \cdot 18 \right) \)

\( = \log_3 (243 · 9) \)

Так как \( 243 = 3^5 \) и \( 9 = 3^2 \), то \( 243 · 9 = 3^5 · 3^2 = 3^7 \).

\( = \log_3 (3^7) \)

\( = 7 \)

Ответ: 7.