4. Расположите числа в порядке возрастания: \( 3^\frac{1}{2}, 9^\frac{1}{3}, 34^\frac{1}{3}, 3^\frac{3}{2} \)

Решение:

Приведем все числа к одному основанию или показателю степени.

Заметим, что \( 9 = 3^2 \). Тогда \( 9^\frac{1}{3} = (3^2)^\frac{1}{3} = 3^\frac{2}{3} \).

Теперь сравним числа \( 3^\frac{1}{2}, 3^\frac{2}{3}, 34^\frac{1}{3}, 3^\frac{3}{2} \).

Сравним числа с основанием 3: \( 3^\frac{1}{2}, 3^\frac{2}{3}, 3^\frac{3}{2} \). Так как основание \( 3 > 1 \), сравниваем показатели: \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2} \).

Приведем к общему знаменателю 6:

• \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \)
• \( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \)
• \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \)

Показатели в порядке возрастания: \( \frac{3}{6} < \frac{4}{6} < \frac{9}{6} \), что соответствует \( \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{2} \).

Значит, \( 3^\frac{1}{2} < 3^\frac{2}{3} < 3^\frac{3}{2} \).

Теперь сравним \( 34^\frac{1}{3} \) с остальными. Возведем все числа в третью степень, чтобы избавиться от показателя \( \frac{1}{3} \):

• \( (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} = \sqrt{27} \approx 5.2 \)
• \( (9^\frac{1}{3})^3 = 9 \)
• \( (34^\frac{1}{3})^3 = 34 \)
• \( (3^\frac{3}{2})^3 = 3^\frac{9}{2} = \sqrt{3^9} = \sqrt{19683} \approx 140 \)

Теперь сравним \( \sqrt{27}, 9, 34 \). Очевидно, \( \sqrt{27} < 9 < 34 \).

Сравним \( 3^\frac{2}{3} \) и \( 34^\frac{1}{3} \). Возведем в куб:

\( (3^\frac{2}{3})^3 = 3^2 = 9 \)

\( (34^\frac{1}{3})^3 = 34 \)

Так как \( 9 < 34 \), то \( 3^\frac{2}{3} < 34^\frac{1}{3} \).

Сравним \( 3^\frac{3}{2} \) и \( 34^\frac{1}{3} \).

\( 3^\frac{3}{2} = \sqrt{27} \approx 5.2 \)

\( 34^\frac{1}{3} \) — это кубический корень из 34. \( 3^3 = 27, 4^3 = 64 \), значит \( 3 < 34^\frac{1}{3} < 4 \).

Таким образом, \( 3^\frac{3}{2} < 34^\frac{1}{3} \).

Следовательно, порядок возрастания:

\( 3^\frac{1}{2} < 3^\frac{2}{3} < 34^\frac{1}{3} < 3^\frac{3}{2} \).

Ответ: \( 3^\frac{1}{2}, 3^\frac{2}{3} (9^\frac{1}{3}), 34^\frac{1}{3}, 3^\frac{3}{2} \).