13. Решите логарифмическое уравнение: \( \lg (3 - x) - \lg (x + 2) = 2 \lg 2 \)

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( \lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b} \) и \( n \lg a = \lg a^n \).

\( \lg \frac{3 - x}{x + 2} = \lg 2^2 \)

\( \lg \frac{3 - x}{x + 2} = \lg 4 \)

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( \frac{3 - x}{x + 2} = 4 \)

\( 3 - x = 4(x + 2) \)

\( 3 - x = 4x + 8 \)

\( 3 - 8 = 4x + x \)

\( -5 = 5x \)

\( x = -1 \)

Проверим область допустимых значений:

\( 3 - x > 0 → 3 - (-1) = 4 > 0 \)

\( x + 2 > 0 → -1 + 2 = 1 > 0 \)

Решение подходит.

Ответ: -1.