592. Найдите значение выражения (33√a - 8√b) / (6√ab) при a = 6 и b = 9.

Решение:

Подставим значения \( a = 6 \) и \( b = 9 \) в выражение:

\[ \frac{33\sqrt{6} - 8\sqrt{9}}{6\sqrt{6 \cdot 9}} = \frac{33\sqrt{6} - 8 \cdot 3}{6\sqrt{54}} \]

Упростим числитель и знаменатель:

\[ \sqrt{9} = 3 \]

\[ \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6} \]

Теперь подставим упрощённые значения:

\[ \frac{33\sqrt{6} - 8 \cdot 3}{6 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{33\sqrt{6} - 24}{18\sqrt{6}} \]

Разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{33\sqrt{6}}{18\sqrt{6}} - \frac{24}{18\sqrt{6}} = \frac{33}{18} - \frac{24}{18\sqrt{6}} \]

Сократим дроби:

\[ \frac{11}{6} - \frac{4}{3\sqrt{6}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе второй дроби, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{6} \):

\[ \frac{4\sqrt{6}}{3\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{3 \cdot 6} = \frac{4\sqrt{6}}{18} = \frac{2\sqrt{6}}{9} \]

Итоговое выражение:

\[ \frac{11}{6} - \frac{2\sqrt{6}}{9} \]

Приведём к общему знаменателю 18:

\[ \frac{11 \cdot 3}{18} - \frac{2\sqrt{6} \cdot 2}{18} = \frac{33 - 4\sqrt{6}}{18} \]

Ответ: (33 - 4√6) / 18.