5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 54°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).

Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.

\( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на хорду \( AD \), значит \( \angle ABD = \angle ACD \).

\( \angle CBD \) и \( \angle CAD \) опираются на хорду \( CD \), значит \( \angle CBD = \angle CAD = 41^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \).

\[ 54^{\circ} = \angle ABD + 41^{\circ} \]

\[ \angle ABD = 54^{\circ} - 41^{\circ} = 13^{\circ} \]

Ответ: 13.