14. Окружности с центром в точке О отрезки АС и BD — диаметры. Угол AOD равен 124°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) являются вертикальными, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 124^{\circ} \).

Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — центральные.

Центральный угол \( \angle BOC = 124^{\circ} \) опирается на дугу BC. Вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на ту же дугу BC, поэтому \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 124^{\circ} = 62^{\circ} \).

Углы \( \angle DOC \) и \( \angle AOB \) являются смежными с \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) соответственно. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle DOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \]

Центральный угол \( \angle DOC = 56^{\circ} \) опирается на дугу DC. Вписанный угол \( \angle DAC \) опирается на ту же дугу DC, поэтому \( \angle DAC = \frac{1}{2} \angle DOC = \frac{1}{2} \cdot 56^{\circ} = 28^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( AOC \). \( OA = OC \) (радиусы), поэтому он равнобедренный. \( \angle OAC = \angle OCA \).

Угол \( \angle AOC \) смежен с \( \angle AOD \), значит \( \angle AOC = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \).

В равнобедренном \( \triangle AOC \): \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - 56^{\circ}}{2} = \frac{124^{\circ}}{2} = 62^{\circ} \). Значит \( \angle ACB = 62^{\circ} \).

Проверим: \( \angle ACB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Угол \( \angle AOB = 180^{\circ} \) (развёрнутый, так как AC - диаметр). Это неверно. AC и BD - диаметры.

Угол \( \angle AOD = 124^{\circ} \). Угол \( \angle DOC = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \). Угол \( \angle BOC = 124^{\circ} \). Угол \( \angle AOB = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \).

Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( \angle AOB = 56^{\circ} \).

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 56^{\circ} = 28^{\circ} \]

Ответ: 28.