42) log_5^2 x + log_√5 x - 3 = 0

Решение:

Для решения логарифмического уравнения \( \log_5^2 x + \log_{\sqrt{5}} x - 3 = 0 \) преобразуем его к виду, удобному для замены переменной, используя свойства логарифмов.

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x > 0 \).
2. Преобразуем \( \log_{\sqrt{5}} x \). Используем формулу смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). Пусть \( c=5 \):
• \( \log_{\sqrt{5}} x = \frac{\log_5 x}{\log_5 \sqrt{5}} = \frac{\log_5 x}{\log_5 5^{1/2}} = \frac{\log_5 x}{1/2} = 2\log_5 x \)
3. Подставим это выражение в исходное уравнение: \( \log_5^2 x + 2\log_5 x - 3 = 0 \).
4. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \log_5 x \).
5. Уравнение примет вид: \( y^2 + 2y - 3 = 0 \).
6. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
7. \( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \).
8. Найдём корни квадратного уравнения:
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \)
9. Возвращаемся к замене:
• \( \log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5 \)
• \( \log_5 x = -3 \implies x = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \)
10. Оба значения \( x = 5 \) и \( x = \frac{1}{125} \) удовлетворяют ОДЗ \( x > 0 \).

Ответ: \( x = 5, x = \frac{1}{125} \).