40) 4sin^2 x + 9sinxcosx + 2cos^2 x = 0

Решение:

Для решения однородного тригонометрического уравнения \( 4\sin^2 x + 9\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0 \) разделим обе части на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x \neq 0 \).

1. Проверка случая \( \cos x = 0 \):

Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). Тогда \( \sin^2 x = 1 \). Подставим в уравнение: \( 4(1) + 9(\pm 1)(0) + 2(0)^2 = 0 \) \( 4 = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x \neq 0 \).

2. Деление на \( \cos^2 x \):

Разделим уравнение на \( \cos^2 x \):

• \( \frac{4\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{9\sin x\cos x}{\cos^2 x} + \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
• \( 4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 9\frac{\sin x}{\cos x} + 2 = 0 \)
• \( 4\tan^2 x + 9\tan x + 2 = 0 \)

3. Решение квадратного уравнения относительно \( \tan x \):

Пусть \( t = \tan x \). Уравнение примет вид: \( 4t^2 + 9t + 2 = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \).

Найдём корни \( t \):

• \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \)
• \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2 \)

4. Нахождение \( x \):

Теперь решаем уравнения относительно \( x \):

• \( \tan x = -\frac{1}{4} \implies x = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{4}) + \pi n \)
• \( \tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n \)

где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\arctan(\frac{1}{4}) + \pi n \) и \( x = -\arctan(2) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).