39) 6sin^2 x - 7sin x - 5 = 0

Решение:

Для решения тригонометрического уравнения \( 6\sin^2 x - 7\sin x - 5 = 0 \) сделаем замену переменной.

1. Пусть \( y = \sin x \). Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), то \( -1 \le y \le 1 \).
2. Уравнение примет вид: \( 6y^2 - 7y - 5 = 0 \)
3. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169 \).
4. \( \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \).
5. Найдём корни квадратного уравнения:
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \)
6. Учитывая условие \( -1 \le y \le 1 \), отбрасываем посторонний корень \( y_1 = \frac{5}{3} \) (так как \( \frac{5}{3} > 1 \)).
7. Возвращаемся к замене: \( \sin x = -\frac{1}{2} \).
8. Найдём решения уравнения \( \sin x = -\frac{1}{2} \) на тригонометрическом круге. Это происходит в третьей и четвёртой четвертях.
9. Основные решения: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \) (или \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \)), где \( n \in \mathbb{Z} \).
10. Эти два семейства решений можно объединить в одно: \( x = (-1)^k \cdot \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k \).

Ответ: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \) (или \( x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)).