31) sin\(3x - \frac{\pi}{3}\) = 1

Решение:

Чтобы решить уравнение \( \sin(3x - \frac{\pi}{3}) = 1 \), вспомним, что синус равен 1, когда аргумент равен \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

1. Приравниваем аргумент синуса к значению, при котором синус равен 1: \( 3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
2. Прибавляем \( \frac{\pi}{3} \) к обеим частям уравнения: \( 3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)
3. Приводим дроби к общему знаменателю: \( 3x = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi n \)
4. Складываем дроби: \( 3x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \)
5. Делим обе части на 3: \( x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \)

Ответ: \( x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).