32) log_2(3+x) \(\ge\) log_2 (2x+1)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_2(3+x) \ge \log_2(2x+1) \) необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и свойства логарифмической функции.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• \( 3+x > 0 \implies x > -3 \)
• \( 2x+1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2} \)

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > -\frac{1}{2} \).

2. Решение неравенства:

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), логарифмическая функция возрастает. Следовательно, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства:

• \( 3+x \ge 2x+1 \)
• \( 3 - 1 \ge 2x - x \)
• \( 2 \ge x \)

3. Объединение решения с ОДЗ:

Мы получили \( x \le 2 \) и \( x > -\frac{1}{2} \). Объединяя эти условия, получаем:

• \( -\frac{1}{2} < x \le 2 \)

Ответ: \( x \in \left(-\frac{1}{2}; 2\right] \).