37) \(\sqrt{5x+1}\) = \(\sqrt{1-x}\)

Решение:

Для решения иррационального уравнения \( \sqrt{5x+1} = \sqrt{1-x} \) необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и возвести обе части уравнения в квадрат.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• \( 5x+1 \ge 0 \implies 5x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{5} \)
• \( 1-x \ge 0 \implies 1 \ge x \implies x \le 1 \)

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( -\frac{1}{5} \le x \le 1 \).

2. Решение уравнения:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

• \( (\sqrt{5x+1})^2 = (\sqrt{1-x})^2 \)
• \( 5x+1 = 1-x \)
• \( 5x+x = 1-1 \)
• \( 6x = 0 \)
• \( x = 0 \)

3. Проверка ОДЗ:

Полученное значение \( x = 0 \) удовлетворяет условию \( -\frac{1}{5} \le x \le 1 \).

Ответ: \( x = 0 \).