4. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро - 16 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания \( a = 12 \) см. Боковое ребро \( l = 16 \) см.

Высота пирамиды \( h \), апофема \( k \) и половина стороны основания \( a/2 \) образуют прямоугольный треугольник. Также высота пирамиды \( h \), радиус описанной окружности \( R \) и боковое ребро \( l \) образуют прямоугольный треугольник.

Сначала найдем радиус описанной окружности для квадрата. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \) см. Радиус описанной окружности \( R = \frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), радиусом описанной окружности \( R \) и боковым ребром \( l \).

\[ h^2 + R^2 = l^2 \]\[ h^2 + (6\sqrt{2})^2 = 16^2 \]\[ h^2 + 36 · 2 = 256 \]\[ h^2 + 72 = 256 \]\[ h^2 = 256 - 72 \]\[ h^2 = 184 \]\[ h = \(\sqrt{184}\) = \(\sqrt{4 · 46}\) = 2\(\sqrt{46}\) \) см.

Ответ: \( 2\sqrt{46} \) см.