3. Решите уравнение: \( \sqrt{x - 2} = x - 4 \)

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x - 2} = x - 4 \) необходимо учесть два условия:

1. Условие подкоренного выражения: \( x - 2 \ge 0 \) \(\implies\) \( x \ge 2 \).
2. Условие неотрицательности правой части: \( x - 4 \ge 0 \) \(\implies\) \( x \ge 4 \).

Объединяя условия, получаем, что \( x \ge 4 \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x - 2})^2 = (x - 4)^2 \]\[ x - 2 = x^2 - 8x + 16 \]\[ 0 = x^2 - 8x - x + 16 + 2 \]\[ 0 = x^2 - 9x + 18 \]

Решим квадратное уравнение \( x^2 - 9x + 18 = 0 \). Дискриминант \( D = (-9)^2 - 4 · 1 · 18 = 81 - 72 = 9 \). Корни: \( x_1 = \frac{9 + 3}{2} = 6 \) и \( x_2 = \frac{9 - 3}{2} = 3 \).

Проверим корни на соответствие условию \( x \ge 4 \).

• \( x_1 = 6 \) удовлетворяет условию \( 6 \ge 4 \).
• \( x_2 = 3 \) не удовлетворяет условию \( 3 < 4 \).

Таким образом, посторонний корень — \( x = 3 \).

Ответ: \( x = 6 \).