12. Равнобокая трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения и площадь боковой поверхности

Решение:

При вращении равнобокой трапеции около большего основания образуется тело, состоящее из цилиндра и двух конусов по бокам.

1. Найдём объём тела вращения:
• Большее основание \( b = 18 \) см, меньшее основание \( a = 12 \) см, высота \( h = 4 \) см.
• При вращении образуется цилиндр высотой, равной меньшему основанию, \( h_{цилиндра} = a = 12 \) см, и радиусом, равным высоте трапеции, \( R = h = 4 \) см.
• Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi R^2 h_{цилиндра} = \pi \cdot 4^2 \cdot 12 = \pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi \) см³.
• По бокам от цилиндра образуются два одинаковых конуса. Высота каждого конуса равна половине разности оснований: \( h_{конуса} = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.
• Объём каждого конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \) см³.
• Общий объём тела вращения: \( V_{общий} = V_{цилиндра} + 2 \cdot V_{конуса} = 192\pi + 2 \cdot 16\pi = 192\pi + 32\pi = 224\pi \) см³.
2. Найдём площадь боковой поверхности:
• Боковая поверхность состоит из боковой поверхности цилиндра и боковых поверхностей двух конусов.
• Боковая поверхность цилиндра: \( S_{бок.цилиндра} = 2 \pi R h_{цилиндра} = 2 \pi \cdot 4 \cdot 12 = 96\pi \) см².
• Для нахождения боковой поверхности конуса, нам нужно найти образующую \( l \) конуса. Образующая конуса является боковой стороной трапеции. Её можно найти по теореме Пифагора: \( l = \sqrt{R^2 + h_{конуса}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) см.
• Боковая поверхность одного конуса: \( S_{бок.конуса} = \pi R l = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \) см².
• Общая площадь боковой поверхности: \( S_{бок.общая} = S_{бок.цилиндра} + 2 \cdot S_{бок.конуса} = 96\pi + 2 \cdot 20\pi = 96\pi + 40\pi = 136\pi \) см².

Ответ: Объём тела вращения равен \( 224\pi \) см³, площадь боковой поверхности равна \( 136\pi \) см².