13. Решите систему: (2x - 3y = 6), (2^x * 2^y = 8)

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 2^x · 2^y = 8 \end{cases} \]

Упростим второе уравнение:

\[ 2^{x+y} = 2^3 \]

Отсюда следует, что показатели степеней равны:

\[ x + y = 3 \]

Теперь у нас есть новая, более простая система:

\[ \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ x + y = 3 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим \( x \):

\[ x = 3 - y \]

Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:

\[ 2(3 - y) - 3y = 6 \]\[ 6 - 2y - 3y = 6 \]\[ 6 - 5y = 6 \]\[ -5y = 6 - 6 \]\[ -5y = 0 \]\[ y = 0 \]

Теперь найдем \( x \), подставив \( y = 0 \) в уравнение \( x = 3 - y \):

\[ x = 3 - 0 \]\[ x = 3 \]

Проверим полученное решение в исходной системе:

• Первое уравнение: \( 2(3) - 3(0) = 6 - 0 = 6 \) (Верно).
• Второе уравнение: \( 2^3 · 2^0 = 8 · 1 = 8 \) (Верно).

Ответ: \( x = 3, y = 0 \).