14. Вычислите определенный интеграл: ∫(x²-2x)(3-2x)dx от -1 до 0

Решение:

Сначала раскроем скобки в подынтегральной функции:

\[ (x^2 - 2x)(3 - 2x) = x^2(3) + x^2(-2x) - 2x(3) - 2x(-2x) \]\[ = 3x^2 - 2x^3 - 6x + 4x^2 \]\[ = -2x^3 + 7x^2 - 6x \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ ∫_{-1}^{0} (-2x^3 + 7x^2 - 6x) dx \]

Найдем первообразную:

\[ F(x) = -2 · \frac{x^4}{4} + 7 · \frac{x^3}{3} - 6 · \frac{x^2}{2} \]\[ F(x) = -\frac{x^4}{2} + \frac{7x^3}{3} - 3x^2 \]

Теперь вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования и найдем разность:

\[ F(0) = -\frac{0^4}{2} + \frac{7 · 0^3}{3} - 3 · 0^2 = 0 \]
\[ F(-1) = -\frac{(-1)^4}{2} + \frac{7 · (-1)^3}{3} - 3 · (-1)^2 \]\[ = -\frac{1}{2} + \frac{7 · (-1)}{3} - 3 · 1 \]\[ = -\frac{1}{2} - \frac{7}{3} - 3 \]

Приведем к общему знаменателю 6:

\[ = -\frac{3}{6} - \frac{14}{6} - \frac{18}{6} \]\[ = \frac{-3 - 14 - 18}{6} \]\[ = \frac{-35}{6} \]

Значение интеграла равно \( F(0) - F(-1) \):

\[ 0 - \left(-\frac{35}{6}\right) = \frac{35}{6} \]

Ответ: \( \frac{35}{6} \).