6. Доказать тождество sin 2a = (sin a + cos a)² - 1

Доказательство:

Рассмотрим правую часть тождества и преобразуем её:

1. Раскроем квадрат суммы: \( (\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a \).
2. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).
3. Выражение примет вид: \( 1 + 2\sin a \cos a \).
4. Теперь подставим это в правую часть исходного тождества: \( (\sin a + \cos a)^2 - 1 = (1 + 2\sin a \cos a) - 1 = 2\sin a \cos a \).
5. Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2a = 2\sin a \cos a \).
6. Таким образом, правая часть равна левой части: \( 2\sin a \cos a = \sin 2a \).

Тождество доказано.