1. Решите неравенство: (x^2 - 6x + 5) / (x + 7) < 0

Решение:

Рассмотрим дробь \( \frac{x^2 - 6x + 5}{x + 7} \). Нам нужно найти значения \( x \), при которых эта дробь меньше нуля. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \). Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16 \). Корни: \( x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \).
2. Корень знаменателя: \( x + 7 = 0 \), следовательно \( x = -7 \).

Теперь нанесем эти корни на числовую прямую и определим знаки дроби в каждом интервале:

• Интервал \( (-∞, -7) \): Возьмем \( x = -8 \). \( \frac{(-8)^2 - 6(-8) + 5}{-8 + 7} = \frac{64 + 48 + 5}{-1} = \frac{117}{-1} < 0 \).
• Интервал \( (-7, 1) \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{0^2 - 6(0) + 5}{0 + 7} = \frac{5}{7} > 0 \).
• Интервал \( (1, 5) \): Возьмем \( x = 2 \). \( \frac{2^2 - 6(2) + 5}{2 + 7} = \frac{4 - 12 + 5}{9} = \frac{-3}{9} < 0 \).
• Интервал \( (5, +∞) \): Возьмем \( x = 6 \). \( \frac{6^2 - 6(6) + 5}{6 + 7} = \frac{36 - 36 + 5}{13} = \frac{5}{13} > 0 \).

Дробь меньше нуля на интервалах \( (-∞, -7) \) и \( (1, 5) \).

Ответ: \( x ∈ (-∞, -7) ∪ (1, 5) \).