31) \(\frac{(a^5)^6 \cdot a^7}{a^{32}}\) при a = 3

Решение:

1. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ и $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ и $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:
   $$ \frac{a^{5 \cdot 6} \cdot a^7}{a^{32}} = \frac{a^{30} \cdot a^7}{a^{32}} = \frac{a^{30+7}}{a^{32}} = \frac{a^{37}}{a^{32}} = a^{37-32} = a^5 $$
2. Теперь подставим значение $$a=3$$:
   $$ 3^5 = 243 $$

Ответ: 243