(3 балла) Решите уравнение: √x² + 2x + 10 = 2x - 1

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть неотрицательной: \( 2x - 1 \ge 0 \), следовательно \( x \ge \frac{1}{2} \).

\[ (\sqrt{x^2 + 2x + 10})^2 = (2x - 1)^2 \]

\[ x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ 0 = 4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 10 \]

\[ 0 = 3x^2 - 6x - 9 \]

Разделим уравнение на 3:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим полученные корни на соответствие условию \( x \ge \frac{1}{2} \):

Для \( x_1 = 3 \): \( 3 \ge \frac{1}{2} \) — верно.

Для \( x_2 = -1 \): \( -1 \ge \frac{1}{2} \) — неверно.

Таким образом, посторонним корнем является \( x_2 = -1 \). Проверим \( x_1 = 3 \) подстановкой в исходное уравнение:

\[ \sqrt{3^2 + 2(3) + 10} = 2(3) - 1 \]

\[ \sqrt{9 + 6 + 10} = 6 - 1 \]

\[ \sqrt{25} = 5 \]

\[ 5 = 5 \]

Решение верное.

Ответ: 3.