(3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций у= x² и у=2х+3 и при помощи интеграла найдите ее площадь.

Решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций \( y = x^2 \) и \( y = 2x + 3 \).

Приравняем правые части уравнений:

\[ x^2 = 2x + 3 \]

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]

Найдем корни \( x \):

\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для точек пересечения:

При \( x = 3 \): \( y = 3^2 = 9 \) или \( y = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 \). Точка пересечения: \( (3; 9) \).

При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 = 1 \) или \( y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \). Точка пересечения: \( (-1; 1) \).

2. Определим, какая функция находится выше на интервале \( [-1; 3] \).

Возьмем тестовую точку, например, \( x = 0 \).

Для \( y = x^2 \): \( y = 0^2 = 0 \).

Для \( y = 2x + 3 \): \( y = 2(0) + 3 = 3 \).

Так как \( 3 > 0 \), функция \( y = 2x + 3 \) находится выше функции \( y = x^2 \) на интервале \( [-1; 3] \).

3. Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{-1}^{3} ((2x + 3) - x^2) dx \]

\[ S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx \]

Найдем первообразную:

\[ F(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \]

Вычислим определенный интеграл:

\[ S = F(3) - F(-1) \]

\[ F(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) = -\frac{27}{3} + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \]

\[ F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) = -\frac{-1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3} \]

\[ S = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3} \]

4. Построим график:

Ответ: \( \frac{32}{3} \).