(3 балла) При помощи производной исследуйте функцию y=1/3х³+х²-3х на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

1. Найдем производную функции \( y \):

\[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x\right)' \]

\[ y' = \frac{1}{3} · 3x^2 + 2x - 3 \]

\[ y' = x^2 + 2x - 3 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( y' = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -3 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = (0)^2 + 2(0) - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( y' = (2)^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определим точки экстремума:

В точке \( x = -3 \) производная меняет знак с '+' на '-', следовательно, это точка максимума.

Найдем значение функции в точке максимума:

\[ y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \]

Точка максимума: \( (-3; 9) \).

В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с '-' на '+', следовательно, это точка минимума.

Найдем значение функции в точке минимума:

\[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3} \]

Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).

Ответ:

Промежутки возрастания: \( (-\infty; -3] \) и \( [1; +\infty) \).

Промежутки убывания: \( [-3; 1] \).

Точка максимума: \( (-3; 9) \).

Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).