(3 балла) Решите уравнение: cos²x - sinx +1=0.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Заменим \( \cos^2 x \) в уравнении:

\[ (1 - \sin^2 x) - \sin x + 1 = 0 \]

\[ 1 - \sin^2 x - \sin x + 1 = 0 \]

\[ -\sin^2 x - \sin x + 2 = 0 \]

Умножим уравнение на -1:

\[ \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 + t - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \):

1. \( \sin x = 1 \)

Это условие выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

2. \( \sin x = -2 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса лежит в пределах от -1 до 1 (\( -1 \le \sin x \le 1 \)).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).