14) (3 балла) Найдите экстремумы функции у(х) = 2x³ - 3x² - 12x + 5 выяснить их род.

Решение:

1. Найдем производную функции:

\( y'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5)' \)

\( y'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \)

Разделим на 6:

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения:

\( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).

3. Исследуем знак производной на интервалах:

• При \( x < -1 \), например, \( x = -2 \): \( y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 6(4) + 12 - 12 = 24 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -1 < x < 2 \), например, \( x = 0 \): \( y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 2 \), например, \( x = 3 \): \( y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 6(9) - 18 - 12 = 54 - 30 = 24 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определим точки экстремума:

• В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с '+' на '-'. Это точка максимума.
• В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с '-' на '+'. Это точка минимума.

5. Найдем значения функции в точках экстремума:

• При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 2(-1) - 3(1) + 12 + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12 \).
• При \( x = 2 \): \( y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 2(8) - 3(4) - 24 + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = 4 - 24 + 5 = -15 \).

Ответ: Максимум функции в точке \( x = -1 \), \( y_{max} = 12 \). Минимум функции в точке \( x = 2 \), \( y_{min} = -15 \).