13) (3 балла) Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 10см, высота пирамиды равна 8см. Найти объём и площадь полной поверхности пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Апофема \( l = 10 \) см.

Высота \( h = 8 \) см.

Найти:

Объём \( V \) и площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

Решение:

1. Найдём радиус вписанной окружности основания (r):
   Так как пирамида правильная четырехугольная, в основании лежит квадрат. Апофема \( l \), высота \( h \) и радиус вписанной окружности \( r \) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + r^2 \)
   \( 10^2 = 8^2 + r^2 \)
   \( 100 = 64 + r^2 \)
   \( r^2 = 100 - 64 = 36 \)
   \( r = \sqrt{36} = 6 \) см.
2. Найдём сторону основания квадрата (a):
   Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны: \( r = \frac{a}{2} \)
   \( 6 = \frac{a}{2} \)
   \( a = 12 \) см.
3. Найдём площадь основания (S_осн):
   \( S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \) см².
4. Найдём объём пирамиды (V):
   Формула объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)
   \( V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 48 \cdot 8 = 384 \) см³.
5. Найдём площадь боковой поверхности (S_бок):
   Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \), где \( P \) — периметр основания.
   Периметр квадрата: \( P = 4a = 4 \cdot 12 = 48 \) см.
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240 \) см².
6. Найдём площадь полной поверхности (S_полн):
   \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)
   \( S_{полн} = 144 + 240 = 384 \) см².

Ответ: Объём пирамиды \( V = 384 \) см³, площадь полной поверхности \( S_{полн} = 384 \) см².