Задание 9. вычислить: ∫³₋₂ (4x³ - 1) dx

Решение:

Для вычисления определённого интеграла найдём первообразную для функции \( 4x^3 - 1 \) и применим формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдём первообразную:

Первообразная для \( 4x^3 \) равна \( \frac{4x^{3+1}}{3+1} = \frac{4x^4}{4} = x^4 \).

Первообразная для \( -1 \) равна \( -x \).

Таким образом, первообразная \( F(x) = x^4 - x \).

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \]

Подставим пределы интегрирования \( a = -2 \) и \( b = 3 \):

\[ \int_{-2}^3 (4x^3 - 1) dx = [x^4 - x]_{-2}^3 \]

Вычислим значение первообразной в верхнем пределе:

\[ F(3) = 3^4 - 3 = 81 - 3 = 78 \]

Вычислим значение первообразной в нижнем пределе:

\[ F(-2) = (-2)^4 - (-2) = 16 + 2 = 18 \]

Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\[ F(3) - F(-2) = 78 - 18 = 60 \]

Ответ: 60